Les nombres complexes

Les nombres complexes sont les nombres de la forme: z = a + i b , avec a et b, deux nombres réels, et i est le nombre tel que i² = - 1. Cette notation est appelé écriture ou forme algébrique. Le nombre a est appelé partie réelle de z et b, la partie imaginaire de z. On les note : a = Re (z) et b = Im (z).

L'ensemble des nombres complexes se notent C.

 

0. Préliminaires

Définition: On dit qu' un nombre complexe est un nombre imaginaire pur, s' il s'écrit de la forme z =b i

Propriété: Tout nombre réel est un nombre complexe. Par conséquent, R est inclus dans C

Du point de vue géométrique, le nombre z correspond à :

- l' affixe du point M. On le note généralement M(z).

- l' affixe du vecteur OM ( z = zM - zO)

Propriété: Soit P, le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct. Pour tout M et N appartenant à P, le vecteur MN a pour affixe (z = zN - zM)

Définition: Le conjugué de z , noté b(z), est b(z) = a - i b.

 

 

1. Opérations sur C:

Prenons z = a + b i et z' = a' +b' i , avec , a, b, a', b' des nombres réels.

a. L'ensemble C, muni de la loi + , un groupe commutatif:

- L'addition dans C est une loi de composition interne. En effet, on a: z + z' = ( a + a' ) + i ( b + b' ).

La commutativité de la loi + dans R implique la loi + est commutative dans C. On a donc:

z + z' = z' + z

 

- 0 est un nombre réel, donc un nombre complexe. En effet, 0 = 0 + 0 i. C' est l' élément neutre de C par rapport à l'addition. En effet, z + 0 = 0 +z = z.

- Tout élément de z dans C admet un opposé que l' on note -z.

Définition: On définit la soustraction de 2 nombres complexes z et z' de la manière suivante:

z - z ' = z + (- z')

Propriété :

- z - z ' = ( a - a' ) + i ( b - b' )

- La loi - est une loi de composition interne dans C.

 

Conséquences :

- Re(z) = (z + b(z) ) / 2 et Im (z) = ( z - b(z) ) / 2i

- Un nombre complexe est un réel si et seulement si Im(z) = 0.

- Un nombre complexe est un imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0.

 

b. L'ensemble C, muni des lois (+,*) , un corps commutatifs:

- La multiplication dans C est une loi de composition interne. En effet, on a: z * z' = ( a a' - bb') + i ( ab' + a'b ).

- La loi * est une loi commutative dans C, du à la commutativité dans R. On a donc : z *z' = z' * z.

- Cette loi * est une loi associative et distributive par rapport à la loi + dans C.

- De plus, C est intègre, c-à-d que :

si a*b = 0 , alors a = 0 ou b = 0

 

- 1 est un nombre réelle, donc un nombre complexe. En effet, 1 = 1 + 0 i. C' est l' élément neutre de C par rapport à la multiplication. En effet, z * 1 = 1 * z = z.

- Tout élément z, non nul, dans C possède un inverse que l'on note 1/z.

Définition: On définit la division de 2 nombres complexes z et z' de la manière suivante:

z' /z = z' * 1/z

Propriétés :

- z* b(z) = a² + b².

- La loi / est une loi de composition interne dans C.

 

2. Ecritures d'un nombre complexe: trigonométrique, exponentielle, polaire.

Soit P, le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v).

a. Module et argument d'un nombre complexe:

Définition: Posons z=a+ib. On appelle:

- module de z, le nombre |z|=z.b(z)=racine carré de (a²+b²) = r.

- un argument de z (différent de 0), un réel q (= arg z ) tel que: cos q = a / |z| et sin q = b/ |z|.

Remarque: Le module est unique. Les arguments de z sont {q + 2kp, avec k, entier relatif}.

 

De point de vue géométrique:

Soit M, le point d'affixe z.

- Le module de z correspond à: |z| =OM=racine carré de (a^2+b^2) = r, c' est la distance OM.

- L'argument de z correspond à: arg z = (u ; OM), c'est la mesure de l'angle (u ; OM) = q, en radian.

Propriété : (u ; AB)=\arg (zB - zA).

b. Les différentes écritures:

Soit z, un nombre complexe non nul.

Forme trigonométrique: z = r (cos q +i sin q). Par définition, exp(i q) = cos q +i sin q. On obtient donc :

Forme exponentielle: z = r exp(i q).

Forme polaire: z = [r , q]

 

c. Propriétés sur module et argument:

Soient des complexes z et z' , non nuls. On rappelle que b(z) est le conjugué de z.

Propriétés :

- |b(z)|= |z| et arg(b(z)) = - arg z

- |z * z'| = |z| * |z'| et arg(z*z') = arg z + arg z'.

- | z / z'|= |z| / |z'| et arg( z / z' )= arg z - arg z'.

- |z^n| = |z|^n et arg(z^n)=n * arg z.

 

Propriété : Soient A, B, C et D, 4 points du plan complexe 2 à 2 distincts d'affixe respective a, b, c, et d, on a : (AB ; CD ) = arg [(d-c)/ (b-a)]